Question

已知向量

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，定義函數f(x)=

OP

•

OQ

．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式，并指出其最大最小值；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

OP

•

OQ

，第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，提取

2

后，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，進而確定出函數f（x）的最大值及最小值；
（Ⅱ）由f（A）=1，根據第一問化簡得到的函數的解析式，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，由三角形為銳角三角形得到滿足題意的A的度數，可得出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積S．

解答：解：（Ⅰ）∵

OP

=(2sinx，-1)，

OQ

=(cosx，cos2x)，
∴f（x）=

OP

•

OQ

=2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵-1≤sin（2x-

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值為

2

，最小值為-

2

；
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
∴A=

π

4

或A=

π

2

，又△ABC為銳角三角形，
則A=

π

4

，又bc=8，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×

2

2

=2

2

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．