Question

已知點F(1，0)，直線l：x＝－1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．

(Ⅰ)試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程．

(Ⅱ)是否存在過N(4，2)的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點N所平分？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因點到點的距離等于它到直線的距離，所以點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線，2分 　　其方程為．5分 　　(Ⅱ)解法一：假設存在滿足題設的直線．設直線與軌跡交于， 　　依題意，得．6分 　　①當直線的斜率不存在時，不合題意．7分 　　②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，8分 　　聯立方程組， 　　消去，得，9分 　　∴，解得；10分 　　此時，方程(*)為，其判別式大于零，11分 　　∴存在滿足題設的直線；12分 　　且直線的方程為：即；13分 　　解法二：假設存在滿足題設的直線．設直線與軌跡交于， 　　依題意，得；6分 　　易判斷直線不可能垂直軸，7分 　　∴設直線的方程為，8分 　　聯立方程組， 　　消去，得，9分 　　∵， 　　∴直線與軌跡必相交．10分 　　又，∴．11分 　　∴存在滿足題設的直線；12分 　　且直線的方程為：即；13分 　　解法三：假設存在滿足題設的直線．設直線與軌跡交于， 　　依題意，得；6分 　　∵在軌跡上， 　　∴有，將，得．8分 　　當時，弦的中點不是，不合題意，9分 　　∴，即直線的斜率，10分 　　注意到點在曲線的張口內(或：經檢驗，直線與軌跡相交)；11分 　　∴存在滿足題設的直線；12分 　　且直線的方程為：即；13分