Question

已知如圖是函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分圖象
（1）求函數解析式，寫出f（x）的單調減區間
（2）當x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．
（3）當x∈R時，求使f（x）≥1 成立的x 的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由函數的最大值求得A的值，由周期求得ω=2，再根據五點法作圖求得φ=

π

6

，從而求得函數的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，可得以f（x）的增區間．
（2）由x∈[

π

12

，

π

2

]，根據正弦函數的定義域和值域求得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，從而得到函數的值域．
（3）由f（x）≥1 可得sin（x+

π

6

）≥

1

2

，再由2kπ+

π

6

≤x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈z，求得x的范圍．

解答：解：（1）由圖象可得：A=2，---（1分）T=2(

2π

3

-

π

6

)=π=

2π

ω

，∴ω=2．---（3分）
又 2×

π

6

+

π

6

=

π

2

，∴φ=

π

6

．----------（5分）
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)．------（6分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，---（8分）
可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．-----（9分）
所以f（x）的增區間是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈Z)．-------（10分）
（2）由x∈[

π

12

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
即函數的值域為[-

1

2

，1]．
（3）由f（x）≥1 可得sin（x+

π

6

）≥

1

2

，…（10分）
所以，2kπ+

π

6

≤x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈z，解得 2kπ≤x≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
所以，使f（x）≥1 成立的x 的取值集合為[2kπ，2kπ+

2π

3

]，k∈z． …（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數的增區間、定義域和值域，屬于中檔題