Question

【題目】設f(x)是定義在區間(1，+∞)上的函數，其導函數為.如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，+∞)都有h(x)>0，使得=h(x)(x2-ax+1)，則稱函數f(x)具有性質P(a).

(1)設函數，其中b為實數.

①求證：函數f(x)具有性質P(a).②求函數f(x)的單調區間.

(2)已知函數g(x)具有性質P(2)，給定x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2.設m為實數， ，且.若，求實數m的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）當b≤2時，函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)；

當b＞2時，函數f(x)的單調減區間為(1，)，單調增區間為(，＋∞)．

（2）(0,1)

【解析】

解：(1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝.

①證明：因為x＞1時，h(x)＝＞0，所以函數f(x)具有性質P(b)．

②當b≤2時，由x＞1得x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，

所以f′(x)＞0.從而函數f(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．

當b＞2時，令x2－bx＋1＝0得

x1＝，x2＝.

因為x1＝＝＜＜1，

x2＝＞1，

所以當x∈(1，x2)時，f′(x)＜0；當x∈(x2，＋∞)時，f′(x)＞0；當x＝x2時，f′(x)＝0.從而函數f(x)在區間(1，x2)上單調遞減，在區間(x2，＋∞)上單調遞增．

綜上所述，當b≤2時，函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)；

當b＞2時，函數f(x)的單調減區間為(1，)，單調增區間為(，＋∞)．

(2)由題設知，g(x)的導函數

g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，

其中函數h(x)＞0對于任意的x∈(1，＋∞)都成立，

所以當x＞1時，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0，

從而g(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．

①當m∈(0,1)時，

有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，

α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，即α∈(x1，x2)，

同理可得β∈(x1，x2)．

所以由g(x)的單調性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，從而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合題意．

②當m≤0時，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，

所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，與題意不符．

③當m≥1時，同理可得α≤x1，β≥x2，

進而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，與題意不符．

綜上所述，所求的m的取值范圍為(0,1)．