Question

【題目】如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面側面,,楔面是邊長為2的正三角形,點在側面的射影是矩形的中心,點在上,且

（1）證明：平面；

（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）做輔助線連接交于,連接,.根據平面,得到平面平面,又平面平面,則平面平面,

利用勾股定理計算出,再根據,,,得,,則可證得平面.

（2）法一：向量法：建立如圖所示的空間直角坐標系,列出各點的坐標求出向量,.求出兩個平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面與側面所成二面角的余弦值.

法二：幾何法：取的中點,連接,.即為楔面與側面所成二面角的平面角.求出、、各邊長度,即可求出,則得到楔面與側面所成二面角的余弦值.

解：（1）證明：如圖,連接交于,連接,.

則是的中點,.

因為平面,所以平面平面,

又平面平面,

所以平面平面,

根據題意,四邊形和是全等的直角梯形,

三角形和是全等的等腰直角三角形,

所以,.

在直角三角形中,,

所以,,,

于是,,

所以,.

因為平面,,

所以平面.

（2）法一：向量法：以為坐標原點,,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,.

設平面的一個法向量為,

則,取,

平面的一個法向量為,

所以,

所以楔面與側面所成二面角的余弦值為.

法二：幾何法：如圖,取的中點,連接,.

即為楔面與側面所成二面角的平面角.

在直角三角形中,,,

所以,

所以楔面與側面所成二面角的余弦值為.