Question

（本題滿分14分）

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知
,,現將四邊形ABCD沿BD折起，
使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱
AC、AD的中點.
（1）求證：DC平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B－EF－A的余弦.

Answer 1

（1）證明：在圖甲中∵且 ∴ ,
即--------------------------------------------------------------------------------------2分
在圖乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD.------------------------------------------4分
又，∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC. -----------------------------------------------------5分
（2）解法1：∵E、F分別為AC、AD的中點
∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足為點E
∴∠FBE是BF與平面ABC所成的角-------------------------------------7分
在圖甲中，∵, ∴,
設則,,-9分
∴在Rt△FEB中，
即BF與平面ABC所成角的正弦值為.---------------------------------10分
解法2：如圖，以B為坐標原點，BD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如下圖示，
 設，則，----------------6分
可得,,
，，
∴,-------------8分
設BF與平面ABC所成的角為
由（1）知DC平面ABC
∴
∴------------------------------------------------------10分
（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，
又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB為二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------------12分
在△AEB中，
∴
即所求二面角B－EF－A的余弦為.----------------------------14分

解析