Question

【題目】設數列的前n項和為，且，.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前n項和為，求；

（3）判斷數列中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）數列中不存在三項成等差數列.見解析

【解析】

（1）利用及公式,代入后可證明數列為等比數列.結合求得,即可得數列的通項公式.

（2）先表示出數列的通項公式,再由等比數列的前n項和公式得求得后代入.即可求得的值.

（3）假設數列中是否存在三項成等差數列.設第m,n,k（）項成等差數列,代入通項公式化簡變形,構造函數,證明在上的單調性,化簡變形可得矛盾,從而證明數列中不存在三項成等差數列.

（1）1°當時,,解得.

2°當時,,即.

因為,所以,從而數列是以2為首項,2為公比的等比數列,

所以.

（2）因為,所以,故數列是以4為首項,4為公比的等比數列,

從而,

而,

所以.

（3）不存在.理由如下.

假設中存在三項成等差數列,不妨設第m,n,k（）項成等差數列,

則,即.

因為,且m,n,,所以.

令（）,則,顯然在上是增函數,

所以,即,

所以,

所以,其左邊為負數,右邊為正數,故矛盾,

所以數列中不存在三項成等差數列.