Question

（本小題滿分14分）某廠家擬在2011年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元（為一個正常數）滿足，已知2011年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入6萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定和再投入兩部分資金）。

（1）將2011年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；

（注：利潤＝銷售收入－總成本）

（2）該廠家2011年投入的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

解： （1）.

每件產品的銷售價格為(元)，             ----------1分

∴2011年的利潤    ----------3分

  

即y      ----------5分（定義域占1分）

（2）           ----------2分

由解得x=3（舍去-5）                         -----------3分

令得  時，為增函數，        -------4分

令得 ，         時，為減函數-----------5分

當時，在上為減函數，時，最大   ----------6分

當時，在上為增函數，在上為減函數，

時，最大   ---------8分

綜上所述，當時，該廠家2011年投入的促銷費用萬元時，廠家的利潤最大， 

當時，該廠家2011年投入的促銷費用3萬元時，廠家的利潤最大。   -------9分