Question

【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺 和棱錐拼接而成的組合體，其底面四邊形是邊長為 的菱形，且 ， 平面 ， ．

（1）求證：平面 平面 ；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；

【解析】試題分析：

（1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知，需在某個平面上找到某條直線垂直于另一個平面，通過觀察分析，平面內直線平面.要證明平面，又轉化為線面垂直問題， ⊥平面∴⊥，菱形中， ⊥，又∴平面 .

（2）建立空間直角坐標系，分別求出平面平面DFC的法向量，再求出兩個法向量的夾角的余弦值，即可得二面角的余弦值.

試題解析：

（1）∵⊥平面∴⊥

在菱形中， ⊥

又∴平面

∵平面∴平面⊥平面

（2）連接、交于點，以為坐標原點，以為軸，以為 軸，如圖建立空間直角坐標系.

，同理

,,

設平面的法向量

，則

設平面DFC的法向量

，則

設二面角為，