【題目】設函數
，
.
(Ⅰ)討論函數
的單調性；
(Ⅱ)當
時，函數
恰有兩個零點
，證明：
【答案】(1) 當
時，
在
上單調遞減，在
上單調遞增；當
時，在上單調遞增，在上單調遞減.
(2)證明見解析.
【解析】分析：（1）對函數求導，令
，
，分
，判斷出單調性；（2）采用綜合分析法證明， 由已知條件求出 
，要證明
，即證
，即證
，令
，通過證明
，得出結論。
詳解： (Ⅰ)
.
∵
，∴由
，得
，即
.
若，當
變化時，
，
的變化情況如下表
|
|
|
|
| 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
若，當變化時，，的變化情況如下表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 |
綜上，當時，在
上單調遞減，在
上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
(Ⅱ)∵當時，函數恰有兩個零點
，
，
則
，即
.
兩式相減，得
∵
，∴
，∴
，∴
.
∴要證，即證
，即證
即證
令 
，則即證
.
設
，即證
在
恒成立.
.
∵
在
恒成立.∴
在單調遞增.
∵
在
是連續函數，
∴當時，
∴當時，有.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某化工廠生產一種溶液，按市場要求，雜質含量不能超過0.1%，若初始溶液含雜質2%，每過濾一次可使雜質含量減少
.
（1）寫出雜質含量y與過濾次數n的函數關系式；
（2）過濾7次后的雜質含量是多少？過濾8次后的雜質含量是多少？至少應過濾幾次才能使產品達到市場要求？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽。從參加競賽的學生中，隨機抽取40名學生，將其成績分為六段
，
，
，
，
，
，到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求圖中
的值及樣本的中位數與眾數；
（2）若從競賽成績在與兩個分數段的學生中隨機選取兩名學生，設這兩名學生的競賽成績之差的絕對值不大于
分為事件
,求事件發生的概率.
（3）為了激勵同學們的學習熱情,現評出一二三等獎,得分在內的為一等獎,得分在內的為二等獎, 得分在內的為三等獎.若將頻率視為概率,現從考生中隨機抽取三名,設
為獲得三等獎的人數,求的分布列與數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
，
為參數），以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
，若直線與曲線相切；
（1）求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程；
（2）在曲線上取兩點
，
與原點構成
，且滿足
，求面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高科技公司研究開發了一種新產品，生產這種新產品的每天固定成木為30000元，每生產x件，需另投入成本為t元， 
，每件產品售價為10000元．（該新產品在市場上供不應求可全部賣完．）
（1）寫出每天利潤y關于每天產量x的函數解析式；
（2）當每天產量為多少件時，該公司在這一新產品的生產中每天所獲利潤最大．
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