Question

已知命題
①函數f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上是減函數；
②函數f（x）的定義域為R，f（x）在R上可導，f′（x₀）=0是x=x₀為極值點的既不充分也不必要條件；
③函數f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為w=π；
④在平面上，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線．
其中，正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：根據函數的單調性的定義以及極值點的判定和周期函數的定義等對每一個選支進行逐一判定．

解答：解：①函數f(x)=

1

lgx

在（0，+∞）上lgx有正有負，如-1＜2，而-1＜

1

2

，故不是單調函數，故不正確；
②函數f（x）的定義域為R，f′（x₀）=0是x=x₀為極值點的必要不充分條件，由f'（x₀）=0 推不出極值點，因為有可能是拐點（說明不充分）；f（x）在R上可導，可以說明極值點處一定有f'（x₀）=0（說明必要）．故不正確；
③函數f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為w=π，故正確；
④在平面上，點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，距離相等的點的軌跡是過該點且與直線3x+4y-10=0垂直的直線．
故答案為③．

點評：本題綜合考查了函數的單調性、周期性，以及函數的極值和拋物線的定義等有關知識，屬于中檔題．