Question

已知

OP

=(2，1)，

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，設C是直線OP上的一點（其中O為坐標原點）
（1）求使

CA

•

CB

取到最小值時的

OC

；
（2）根據（1）中求出的點C，求cos∠ACB．

Answer 1

分析：（1）根據題意設點C(x，

1

2

x)，從而將

CA

•

CB

數量積的坐標表示求出來，可得一個關于x的二次函數，利用二次函數的性質，即可求得答案；
（2）根據（1）中的點C，可以求得

CA

，

CB

的坐標，利用向量的數量積即可求得cos∠ACB的值．

解答：解：（1）∵

OP

=(2，1)，則直線OP的方程為y=

1

2

x，
∵C是直線OP上的一點，則設點C(x，

1

2

x)，
∴

CA

=

OA

-

OC

=(1-x，7-

1

2

x)，

CB

=

OB

-

OC

=(5-x，1-

1

2

x)，
∴

CA

•

CB

=（1-x）（5-x）+（7-

1

2

x）（1-

1

2

x）
=

5

4

x2-10x+12
=

5

4

(x-4)2-8，
∴當x=4時，

CA

•

CB

取到最小值，此時C（4，2），
∴

OC

=(4，2)；
（2）由（1）可知，C（4，2），
∴

CA

=(-3，5)，

CB

=(1，-1)，
∴cos∠ACB=

CA • CB

|CA |•| CB |

=

-3-5

(-3)2+52 12+(-1)2

=-

4 17

17

，
故cos∠ACB=-

4 17

17

．

點評：本題考查了向量數量積的坐標運算，考查了根據向量的數量積求解向量的夾角．根據數量積的定義可以求解兩個向量的夾角，注意兩個向量的夾角要共起點所形成的角，熟悉向量夾角的取值范圍為[0，π]，其中夾角為0時，兩向量同向，夾角為π時，兩向量反向．屬于中檔題．