Question

【題目】設是一個的方格表，在每一個小方格內各填一個正整數.若中的一個方格表的所有數的和為10的倍數，則稱其為“好矩形”；若中的一個的小方格不包含于任何一個好矩形，則稱其為“壞格”.求中壞格個數的最大值.

Answer 1

【答案】25

【解析】

首先用反證法證明：中壞格不多于25個.

假設結論不成立.則方格表中至多有1個小方格不是壞格.由表格的對稱性，不妨假設此時第1行都是壞格.

設方格表第列從上到下填的數依次為、、.

記，，其中，.

下面證明：三組數；及都是模10的完全剩余系.

事實上，假如存在、，使.則，即第1行的第列至第列組成一個好矩形，與第1行都是壞格矛盾.

又假如存在、，使.則，即第2行至第3行、第列至第列組成一個好矩形.

從而，至少有2個小方格不是壞格，矛盾.

類似地，也不存在、，使.

故 .

則，矛盾.

于是，假設不成立，即壞格不可能多于25個.

其次構造如下一個的方格表（表1），可驗證每個不填10的小方格都是壞格.此時，有25個壞格.

表 1

1	1	1	2	1	1	1	1	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	1	10	1	1	1	1	2

綜上，壞格個數的最大值是25.