Question

【題目】已知點,點是圓上的任意一點,，線段的垂直平分線與直線交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若直線與點的軌跡相切，且與圓相交于點和，求直線和三角形的面積．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據已知，由平面幾何知識可得，所以E的軌跡是以點A,C為焦點的橢圓，從而可得軌跡方程；（2）由，

得，根據判別式為零可得直線斜率，從而可得直線方程，再利用點到直線距離公式與三角形面積公式可得結果.

試題解析：（1）由題意可知

E的軌跡是以點A,C為焦點的橢圓

所以橢圓的方程 .

(2)由，

得

又 與點的軌跡相切

即， 又，所以， 的方程

圓心C到的距離由垂徑定理可知，

又原點O到直線的距離

.

【方法點晴】本題主要考查定義法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.本題（1）就是利用方法②求得的軌跡方程的.