Question

已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對?x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．當x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，給出下列命題：
（1）f（2）=0；　　　
（2）直線x=-4是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）函數y=f（x）在[-4，4]上有四個零點；　
（4）f（2012）=f（0）
其中所有正確命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：由函數y=f（x）是R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，我們易得函數在區間[0，2]單調遞減，由此我們畫出函數的簡圖，然后對題目中的四個結論逐一進行分析，即可得到答案．

解答：解：∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
當x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函數y=f（x）是R上的偶函數
∴f（-2）=f（2）=0，
又由當x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函數在區間[0，2]單調遞減
故函數f（x）的簡圖如下圖所示：

由圖可知：①正確，②正確，③錯誤，④正確
故答案：①②④．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象，函數的奇偶性，函數的周期性，函數的零點，解答的關鍵是根據已知，判斷函數的性質，并畫出函數的草圖，結合草圖分析題目中相關結論的正誤．