Question

已知向量=(2,0),=(0,1),動點M到定直線y=1的距離等于d,并且滿足=k(-d²),其中O是坐標原點,k是參數,

(1)求動點M的軌跡方程并判斷曲線類型;

(2)當k=時,求||的最大值與最小值;

(3)如果動點M的軌跡是一圓錐曲線,其離心率e滿足,求k的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設M(x,y),則由=(2,0),=(0,1),且O是原點,得A(2,0),B(2,1),C(0,1).

從而=(x,y),=(x-2,y),=(x-2,y-1),=(x,y-1),d=|y-1|.

根據=k(),得(x,y)·(x-2,y)=k［(x,y-1)·(x-2,y-1)-|y-1|²］,

即(1-k)x²+2(k-1)x+y²=0為所求軌跡方程.當k=1時,y=0,動點M的軌跡是一條直線;當k≠1時,方程可化為(x-1)²+=1,當k=0時,動點M的軌跡是一個圓;當0＜k＜1或k＜0時,動點M的軌跡是一個橢圓;當k＞1時,動點M的軌跡是雙曲線.

(2)當k=時,動點M的軌跡方程是(x-1)²+2y²=1,即y²=-(x-1)²,從而||²=|(x,y)+2(x-2,y)|²=|(3x-4,3y)|²=(3x-4)²+9y²=(3x-4)²+9［-(x-1)²］=(x-)²+.

又由(x-1)²+2y²=1得0≤x≤2,所以當x=時,||²取得最小值;當x=0時,||²取得最大值16,因此,|OM+2AM|的最小值是,最大值是4.

(3)由于≤e≤,所以此時圓錐曲線是橢圓,其方程為(x-1)²+=1.

①當0＜k＜1時,a²=1,b²=1-k,c²=a²-b²=k,此時e²==k,而≤e≤,∴≤k≤.

②當k＜0時,a²=1-k,b²=1,c²=a²-b²=-k,此時e²==,而≤e≤,

∴≤≤,可解得-1≤k≤-.綜上可得k的取值范圍是［-1,-］∪［,］.