Question

已知曲線C:y=,C_n:y=(n∈N^*).

從C上的點Q_n(x_n,y_n)作x軸的垂線,交C_n于點P_n,再從點P_n作y軸的垂線,交C于點Q_n+1(x_n+1,y_n+1).設x₁=1,a_n=x_n+1-x_n,b_n=y_n-y_n+1.

(1)求Q₁、Q₂的坐標;

(2)求數列{a_n}的通項公式;

(3)記數列{a_n·b_n}的前n項和為S_n,求證:S_n＜.

Answer 1

(1)解:由題意得Q₁(1,1),P₁(1,),Q₂(,).

(2)解:∵Q_n(x_n,y_n)、Q_n+1(x_n+1,y_n+1),

∴點P_n的坐標為(x_n,y_n+1).

∵Q_n、Q_n+1在曲線C上,

∴y_n=,y_n+1=.

又P_n在曲線C_n上,y_n+1=,

∴x_n+1=x_n+2^-n.∴a_n=2^-n.

(3)證明:x_n=(x_n-x_n-1)+(x_n-1-x_n-2)+…+(x₂-x₁)+x₁

=2^-(n-1)+2^-(n-2)+…+2^-1+1

=1·=2-2^1-n,

∴a_n·b_n=(x_n+1-x_n)·(y_n-y_n+1)=2^-n(-)=2^-n(-)=.

∵2·2ⁿ-2≥2ⁿ,2·2ⁿ-1≥3,∴a_n·b_n≤.

S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤++…+=·=(1-)＜.