Question

下列命題中正確的命題有幾個（　�。�                   
（1）a₁+a₄=a₂+a₃是a₁，a₂，a₃，a₄依次構成等差數列的必要非充分條件．
（2）若{a_n}是等比數列，b_k=a_2k-1+a_2k，k∈N^*，則{b_k}也是等比數列．
（3）若a，b，c依次成等差數列，則a+b，a+c，b+c也依次成等差數列．
（4）數列{a_n}所有項均為正數，則數列{b_n}（b_n=a_na_n+1，n∈N^*）構成等比數列的充要條件是{a_n}構成等比數列．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：舉出例子a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=5，結合等差數列的性質及充要條件的定義可判斷A，
舉出例子{a_n}是公比為-1的等比數列，結合等比數列的概念，可判斷B，
根據等差數列的等差中項判斷法，可判斷C
舉出例子{a_n}是所有奇數項均相等，所有偶數項也均相等的擺動數列，結合充要條件的定義，可判斷D．

解答：解：若a₁，a₂，a₃，a₄依次構成等差數列，則a₁+a₄=a₂+a₃，
但a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=5時，a₁+a₄=a₂+a₃，但a₁，a₂，a₃，a₄依次不構成等差數列，
故a₁+a₄=a₂+a₃是a₁，a₂，a₃，a₄依次構成等差數列的必要非充分條件，即（1）正確；
若{a_n}是等比數列，公比為-1，則若{a_2k-1}和{a_2k}是也是等比數列，公比均為1，但對應項相反
則b_k=a_2k-1+a_2k=0，可得{b_k}不是等比數列，即（2）不正確
若a，b，c依次成等差數列，2b=a+c，則2b+a+c=2（a+c）=（a+b）+（b+c），即a+b，a+c，b+c也依次成等差數列．故（3）正確
（4）若{a_n}為等比數列，則數列{b_n}顯然也是等比數列，但若{a_n}是所有奇數項均相等，所有偶數項也均相等的擺動數列，則{b_n}顯然也是等比數列，
故數列{b_n}（b_n=a_na_n+1，n∈N^*）構成等比數列的充分為必要條件是{a_n}構成等比數列．故（4）正確

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了等差數列，等比數列的概念及性質，正確理解等差數列，等比數列的概念，熟練掌握等差數列，等比數列的性質是解答的關鍵．