已知:如圖,等腰直角三角形的直角邊
,沿其中位線
將平面
折起,使平面
⊥平面
,得到四棱錐
,設
、
、
、
的中點分別為
、
、
、
.
(1)求證:、
、
、
四點共面;
(2)求證:平面平面
;
(3)求異面直線與
所成的角.
(1)見解析;(2)見解析;(3).
解析試題分析:(1)要證四點共面,只需找到一個平面,這四個點都在這個平面內,用確定平面的方法,兩條平行線確定一個平面,即可證出;(2)要證明兩個平面垂直,只需證明其中一個平面經過另一個平面的一條垂線即可,也就是只需證線面垂直即可,而要證線面垂直,只需證明這條直線垂直平面內的兩條相交直線,這樣,一步步尋找成立的條件即可;(3)求異面直線所成角,先平移兩條異面直線中的一條,使它們成為相交直線,則相交直線所成角就是異面直線所成角或其補角,再放入三角形中計算即可.
試題解析:(1)由條件有為
的中位線,
為梯形
的中位線
∥
,
∥
四點共面 3分
(2)證明:由等腰直角三角形有
,
又,
面
又
∥
平面
,
平面
平面
平面
6分
(3)由條件知
延長到
,使
,連結
8分
則,故
為平行四邊形 10分
,又
為異面直線BE與QM所成的角
(或
的補角) 11分
,且三線兩兩互相垂直
∴由勾股定理得 12分
ACR為正三角形,
=
,
異面直線
與
所成的角大小為
13分.
考點:1.平面的基本性質;2.平面與平面垂直的判定;3.異面直線及其所成的角.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖:PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,PA=AB=1,AD=,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動
(Ⅰ)求三棱錐E-PAD的體積;
(Ⅱ)當點E為BC的中點時,試判斷EF與平面PAC的位置關系,并說明理由;
(Ⅲ)證明:無論點E在邊BC的何處,都有PE⊥AF
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖1,矩形中,
,
,
、
分別為
、
邊上的點,且
,
,將
沿
折起至
位置(如圖2所示),連結
、
,其中
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)在線段上是否存在點
使得
平面
?若存在,求出點
的位置;若不存在,請說明理由.
(Ⅲ)求點到平面
的距離.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,N為線段PB的中點,G在線段BM上,且
(Ⅰ)求證:AB⊥PD;
(Ⅱ)求證:GN//平面PCD.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,正方形所在平面與圓
所在的平面相交于
,線段
為圓
的弦,
垂直于圓
所在的平面,垂足
為圓
上異于
、
的點,設正方形
的邊長為
,且
.
(1)求證:平面平面
;
(2)若異面直線與
所成的角為
,
與底面
所成角為
,二面角
所成角為
,求證
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E為PA的中點.
(1)證明:DE∥平面PBC;
(2)證明:DE⊥平面PAB.
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