Question

已知等比數列{a_n}滿足，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，若不等式S_n＞ka_n-2對一切n∈N^*恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用等比數列{a_n}滿足，確定數列的公比與首項，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出S_n，再利用不等式S_n＞ka_n-2，分離參數，求最值，即可求實數k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵，n∈N^*，∴a₂+a₁=9，a₃+a₂=18，…（2分）
∴，…（4分）  
又2a₁+a₁=9，∴a₁=3．
∴．   …（7分）
（Ⅱ），…（9分）
∴3（2ⁿ-1）＞k•3•2^n-1-2，∴．  …（11分）
令，f（n）隨n的增大而增大，
∴．∴．
∴實數k的取值范圍為． …（14分）
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．