Question

定義在（0，+∞）上的函數f （x），對于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，當x＞1時，f（x）＜0．（Ⅰ）計算f（1）；（Ⅱ）證明f （x）在（0，+∞）上是減函數；（Ⅲ）當f(2)=-

1

2

時，解不等式f（x²-3x）＞-1．

Answer 1

（Ⅰ）∵定義在（0，+∞）上的函數f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
證明：（II）設0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)-f(x1)=f(

x2

x1

)．
因為0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，而當x＞1時，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是減函數．
（Ⅲ）因為f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x²-3x）＞f（4），
因為f（x）在（0，+∞）上是減函數，所以0＜x²-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集為{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．