Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，且與橢圓相交于，兩點（異于點），過作的角平分線交橢圓于另一點.

（i）證明：直線與坐標軸平行；

（ii）當時，求四邊形的面積

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）見解析，（ii）

【解析】

（1）根據題意，將點代入橢圓方程即可求解.

（2）（i）利用分析法，只需證直線的方程為或，只需證，斜率都存在，且滿足即可，設直線：，，，將直線與橢圓聯立，消，利用韋達定理求出即可證出；（ii）可知直線和的傾斜角應該分別為，，即斜率分別為1和-1，不妨令，，求出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，求出點的坐標，同理求出點，再利用三角形的面積公式即可求解.

（1）解：，將代入橢圓方程，得，

解得，故橢圓的方程為.

（2）（i）證明：∵平分，欲證與坐標軸平行，

即證明直線的方程為或，

只需證，斜率都存在，且滿足即可.

當或斜率不存在時，即點或點為，

經檢驗，此時直線與橢圓相切，不滿足題意，故，斜率都存在.

設直線：，，，

聯立，

，∴，

由韋達定理得，，

，

，得證.

（ii）解：若，即，

則可知直線和的傾斜角應該分別為，，

即斜率分別為1和-1，不妨就令，，

則：，即，

，

已知是其一個解，故，∴，∴，

同理，可得，

，

因為，故的方程只能是.

設直線的傾斜角為，與所成角為，故，

而，故，∴，

又，故.