Question

已知函數（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值；
（3）令函數g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，試問是否存在實數a，使得對任意的實數x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數得f（-x）+f（x）=0對定義域中的任意實數x均成立，代入可求m
（2）因為函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），需要考慮（n，a-2）與定義域的關系，故分類討論①當n＜a-2≤-1時，0＜a＜1，②當1≤n＜a-2時，a＞3，分別求解函數的值域即可
（3）由題意可得g（x）=-ax²+8x+3，假設存在實數a，使得對任意的實數x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，則有 對任意的實數x∈（1，2]恒成立，即 對任意的實數x∈（1，2]恒成立，結合二次函數的性質可求
解答：解：（1）由函數（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函數
得f（-x）+f（x）=0對定義域中的任意實數x均成立．（2分）
∴．
即     
即m²x²-1=x²-1對定義域中的任意實數x均成立．
∴m²=1即m=1（舍去）或m=-1．
∴m=-1．（6分）
（2）因為函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），（7分）
∴①當n＜a-2≤-1時，0＜a＜1，
∴f（x）在區間（n，a-2）上為增函數，
要使值域為（1，+∞），則（無解）；
②當1≤n＜a-2時，a＞3，
∴f（x）在區間（n，a-2）上為減函數，
要使f（x）的值域為（1，+∞），則，
∴，n=1．（12分）
（3）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8x+3，（13分）
假設存在實數a，使得對任意的實數x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，
則有 對任意的實數x∈（1，2]恒成立，
即   對任意的實數x∈（1，2]恒成立，
令，則有對任意的實數恒成立，
因為函數8（t²+t）在上遞增，所以函數8（t²+t）的最小值為6，
所以 a≤6；
因為函數8t-2t²在上遞增，所以函數8t-2t²＜6，
所以a≥6．
綜上，a=6
所以，存在a=6使得對任意的實數x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立．（18分）
點評：本題主要考查了奇函數的定義的應用，函數的值域的求解，體現了分類討論思想的應用，解決本題（3）的關鍵在于“轉化”，先將轉化為恒成立問題，再以將問題轉化為二次函數問題，最終得以解決