Question

已知點A（0，2）和雙曲線x2-

y2

4

=1．
（1）求過點A可作幾條直線與雙曲線有且只有一個公共點；
（2）當過點A的直線與雙曲線有兩個不同的公共點時，求直線的斜率的取值范圍；
（3）當過點A的直線與雙曲線沒有公共點時，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，直線的斜率存在，設方程，代入雙曲線方程，對二次項系數討論，利用判別式，即可得到結論；
（2）利用4-k²≠0且△＞0，即可得到k的取值范圍；
（3）利用4-k²≠0且△＜0，即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，直線的斜率存在，設方程為y=kx+2
代入雙曲線方程，可得（4-k²）x²-4kx-8=0
①4-k²=0，即k=±2時，方程只有一個解，直線與雙曲線有且只有一個公共點；
②4-k²≠0時，△=16k²+32（4-k²）=0，∴k=±2

2

，
∴過點A可作4條直線與雙曲線有且只有一個公共點；
（2）由（1）知，4-k²≠0且△＞0，∴-2

2

＜k＜2

2

且k≠±2；
（3）由（1）知，4-k²≠0且△＜0，∴k＜-2

2

或k＞2

2

．

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查解不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．