Question

已知奇函數g(x)=

ax+b

x2+a

(a∈N*，b∈R)的定義域為R，且恒有g(x)≤

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）寫出函數y=g（x）在[-1，1]上的單調性，并用定義證明；
（3）討論關于x的方程g（x）-t=0（t∈R）的根的個數．

Answer 1

分析：（1）由g（x）為奇函數且函數的定義域為R，可知a＞0且g（0）=0可求b，然后由g(x)≤

1

2

恒成立，結合二次函數性質及a∈N^*可求a
（2）可先證明g（x）=

x

x2+1

，x∈[0，1]上的單調性，然后根據奇函數對稱區間上的單調性一致可知，且g（0）=0，則可判斷g（x）在[-1，0）上單調性
（3）由（2）的函數的單調性可求g（x）的值域，即可判斷方程的根的個數

解答：解：（1）∵g（x）為奇函數且函數的定義域為R，
∴a＞0且g（0）=

b

a

=0
∴b=0，故有g（x）=

ax

x2+a

∵g(x)≤

1

2

恒成立即

ax

x2+a

≤

1

2

恒成立
整理可得，x²-2ax+a≥0恒成立
∴△=4a²-4a≤0
解可得，0＜a≤1
∵a∈N^*
∴a=1
（2）g（x）在[-1，1]上單調遞增，證明如下
z證明：由（1）可得，g（x）=

x

x2+1

，x∈[-1，1]
設0≤x₁＜x₂≤1
則g（x₁）-g（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵0≤x₁＜x₂≤1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
則g（x₁）-g（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0
即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在[0，1]上單調遞增
根據奇函數對稱區間上的單調性一致可知，且g（0）=0，則可得g（x）在[-1，0）上單調遞增
綜上可得，g（x）在[-1，1]上單調遞增
（3）由（2）可得，-

1

2

≤g(x)≤

1

2

①當t＞

1

2

或t＜-

1

2

時，方程g（x）-t=0沒有實數根
②當-

1

2

≤t≤

1

2

時，方程g（x）-t=0有1根實數根

點評：題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，求函數的解析式和單調區間，函數的奇偶性的應用，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．