Question

（2008•武漢模擬）在正四棱錐s-ABCD中，側面與底面所成角為

π

3

，則它的外接球半徑R與內切球半徑r的比值為（　�。�

• A．5
• B．

  3

  2

• C．10
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：通過側面與底面所成角為

π

3

，設出正四棱錐的底面邊長，推出斜高，側棱長，求出內切球的半徑；利用外接球的球心與正四棱錐的高在同一條直線，結合勾股定理求出，外接球的半徑，即可得到比值．

解答：解：由于側面與底面所成角為

π

3

，可知底面對邊中心線與兩個對面斜高構成正三角形，
設底面邊長為a，則斜高也為a，進而可得側棱長為：

5 a

2

，高為

3 a

2

四棱錐的內切球半徑就是上述正三角形的內切圓半徑為

3 a

6

，
其外接球球心必在頂點與底面中心連線上，如圖：半徑為R，
球心為O，頂點為P，底面中心為O₁，底面一個頂點為B，則OB=OP，
于是就有：（

3 a

2

-R）²+（

2 a

2

）²=R²
解得R=

5 3 a

12

．
所以兩者的比為：

5

2

．
故選D

點評：本題考查學生的空間想象能力，計算能力推理能力．求出球的半徑與正三棱柱的底面邊長的關系，是本題的關鍵，是中檔題．