Question

【題目】求下列函數的值域和單調區間：

（1）

（2）．

Answer 1

【答案】（1）值域為．單調遞增區間為．單調遞減區間為．（2）值域為．單調遞增區間為．單調遞減區間為．

【解析】

(1)先利用對數函數的性質，令，求得，然后，利用復合函數的性質判斷單調區間即可.

(2)利用換元法，設，則，然后求出值域，進而利用復合函數的性質判斷單調區間.

解 （1）由，解得．

設，則．

∴，即函數的值域為．

因為在區間上單調遞增，即當時，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而減小，所以函數的單調遞減區間為．

同理，因為在區間上單調遞減，即當時，u隨著x的增大而減小，y隨著u的減小而增大，所以函數的單調遞增區間為．

（2）函數整理，得，定義域為．

設，則．

∵，所以函數的值域為．

因為在上單調遞減，此時由即．解不等式，得，即當時，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而減小，所以函數的單調遞減區間為．

同理，因為在上單調遞增，此時由即．解不等式，得，即當時，u隨著x的增大而增大，y隨著u的增大而增大，所以函數的單調遞增區間為．