Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元，該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．

 

Answer 1

（1）f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)（2）5 cm厚，70萬元

【解析】(1)設隔熱層厚度x cm，由題意，建筑物每年的能源消耗費用為C(x)＝ (0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，

∴C(x)＝ (0≤x≤10)，又∵隔熱層建造費用為6x(萬元)，

∴f(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f(x)＝＋6x＝＋(6x＋10)－10，

∵0≤x≤10，∴6x＋10＞0，∴f(x)≥2－10＝70.

當且僅當＝6x＋10.即x＝5時，取“＝”號．

故隔熱層修建5 cm厚時，總費用最小，最小值為70萬元．