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【題目】已知曲線，為曲線上一動點，過作兩條漸近線的垂線，垂足分別是和.

（1）當運動到時，求的值；

（2）設直線（不與軸垂直）與曲線交于、兩點，與軸正半軸交于點，與軸交于點，若，，且，求證為定點.

【答案】（1）；（2）證明見解析；

【解析】

（1）確定兩條漸近線方程，求出點到兩條漸近線的距離，再計算與夾角的余弦值，應用向量的數量積公式，即可求得結論.

（2）設而不解，聯立直線與雙曲線方程得到根與系數的關系，再利用向量式，，將表示出來，代入化簡即可證得為定點.

解：（1）由曲線，得漸近線方程為，作示意圖如圖所示：

設，，則

則 ，

又 ，

.

（2）設，，，設直線的斜率為，

則，又，得

得，

由，則，即，

得 ，又，同理，

則

得，則，

得，又，得，即為定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的長方體，． 動點在該長方體外接球上，且，則點的軌跡長度為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ()，將的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象上所有點向右平行移動個單位長度，得到的圖象，則以下關于函數的結論正確的是（ ）

A.若，是的零點，則是的整數倍

B.函數在區間上單調遞增

C.點是函數圖象的對稱中心

D.是函數圖象的對稱軸

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】CPI是居民消費價格指數(comsummer priceindex)的簡稱.居民消費價格指數是一個反映居民家庭一般所購買的消費品價格水平變動情況的宏觀經濟指標.如圖是根據國家統計局發布的2019年4月——2020年4月我國CPI漲跌幅數據繪制的折線圖（注：2019年6月與2018年6月相比較，叫同比；2019年6月與2019年5月相比較，叫環比），根據該折線圖，則下列結論正確的是（ ）

A.2019年4月至2020年4月各月與去年同期比較，CPI有漲有跌

B.2019年4月居民消費價格同比漲幅最小，2020年1月同比漲幅最大

C.2020年1月至2020年4月CPI只跌不漲

D.2019年4月至2019年6月CPI漲跌波動不大，變化比較平穩

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】新能源汽車已經走進我們的生活，逐漸為大家所青睞.現在有某品牌的新能源汽車在甲市進行預售，預售場面異�；鸨�，故該經銷商采用競價策略基本規則是：①競價者都是網絡報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與競價的總人數；②競價采用“一月一期制”，當月競價時間截止后，系統根據當期汽車配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競價，他為了預測最低成交價，根據網站的公告，統計了最近5個月參與競價的人數（如下表）

月份

2020.01

2020.02

2020.03

2020.04

2020.05

月份編號

1

2

3

4

5

競拍人數（萬人）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）由收集數據的散點圖發現，可用線性回歸模型擬合競價人數y（萬人）與月份編號t之間的相關關系.請用最小二乘法求y關于t的線性回歸方程：，并預測2020年6月份（月份編號為6）參與競價的人數；

（2）某市場調研機構對200位擬參加2020年6月份汽車競價人員的報價進行了一個抽樣調查，得到如表所示的頻數表：

報價區間（萬元）

頻數

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位競價人員報價的平均值和樣本方差s2（同一區間的報價用該價格區間的中點值代替）

（ii）假設所有參與競價人員的報價X可視為服從正態分布且μ與σ2可分別由（i）中所示的樣本平均數及s2估計.若2020年月6份計劃提供的新能源車輛數為3174，根據市場調研，最低成交價高于樣本平均數，請你預測（需說明理由）最低成交價.

參考公式及數據：

①回歸方程，其中

②

③若隨機變量X服從正態分布則

.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】年月日，我國開始施行《個人所得稅專項附加扣除操作辦法》，附加扣除的專項包括子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息、住房租金、贍養老人.某單位有老年員工人，中年員工人，青年員工人，現采用分層抽樣的方法，從該單位員工中抽取人，調查享受個人所得稅專項附加扣除的情況，并按照員工類別進行各專項人數匯總，數據統計如表：

專項員工人數

子女教育

繼續教育

大病醫療

住房貸款利息

住房租金

贍養老人

老員工

中年員工

青年員工

（Ⅰ）在抽取的人中，老年員工、中年員工、青年員工各有多少人；

（Ⅱ）從上表享受住房貸款利息專項扣除的員工中隨機選取人，記為選出的中年員工的人數，求的分布列和數學期望.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為線段的中點，底面，點是棱的中點，平面與棱相交于點．

（1）求證：；

（2）若與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓

（1）求橢圓的標準方程和離心率；

（2）是否存在過點的直線與橢圓相交于，兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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