Question

【題目】在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是邊長為2的正三角形，E是AB邊上的動點，則的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

將四邊形放入坐標系，結合三角函數定義求出對應點的坐標，利用向量數量積公式轉化為一元二次函數進行求求解即可．

解：當四邊形ABCD放入平面直角坐標系，

∵AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是邊長為2的正三角形，

∴D（2cos30°，2sin30°），即D（，1），

∵∠CDB＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝120°

∴∠CDB＝30°，即△BCD是等腰三角形，

取BD的中點E，

則BE＝1，

則cos30°，

即BC，即C（，0），

設E（0，b），0≤b≤2，

則（，b﹣1），（，b），

則（，b﹣1）（，b）＝2+b（b﹣1）＝b2﹣b+2

＝（b）2+2═（b）2，

∴當b時，數量積取得最小值，

故答案為：