Question

【題目】設中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C過點，F為C的右焦點，⊙F的方程為

（1）求C的方程；

（2）若直線與⊙O相切，與⊙F交于M、N兩點，與C交于P、Q兩點，其中M、P在第一象限，記⊙O的面積為，求取最大值時，直線l的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由圓的方程求出圓心坐標即得焦點方程，由橢圓上的點到兩焦點的距離和得長軸長，從而有，再把點的坐標代入橢圓方程，及值可求得得橢圓標準方程；

（2）先確定與圓和橢圓的位置關系，為下面作距離的差做準備．直線方程與橢圓方程聯立，消元后的二次方程，設，由韋達定理，得

,.由橢圓中的弦長公式得，然后求，由原點到直線的距離求得圓半徑得面積，求出后用基本不等式可求得最大值及此時的值，得直線方程．

（1）解：設C的方程為.

由題設知①

因為⊙F的標準方程為，

所以F的坐標為，半徑.

設左焦點為，則的坐標為.

由橢圓定義，可得

②

由①②解得.

所以C的方程為.

（2）由題設可知，M在C外，N在C內，P在⊙F內，Q在⊙F外，在直線l上的四點滿足

.

由消去y得

因為直線l過橢圓C內的右焦點F，

所以該方程的判別式恒成立.

設

由韋達定理，得

.

又因為⊙F的直徑,

所以

.

可化為.

因為l與⊙O相切，所以⊙O的半徑，

所以.

所以

.

當且僅當，即時等號成立.

因此，直線l的方程為.