Question

已知函數y=f（x）定義R上的奇函數，且x＞0時，f（x）=x-1
（1）求f（0）；
（2）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）畫出y=|f（x）|在R上的圖象，并由圖象討論m指出關于x的方程|f（x）|=m（m∈R）的根的個數（不需要說明理由）．

Answer 1

分析：（1）由已知可得f（-0）=-f（0），進而可求f（0）
（2）設x＜0，則-x＞0，然后結合已知x＞0時，f（x）=x-1及函數y=f（x）定義R上的奇函數可求
（3）由f（x）=

x-1，x＞0 0，x=0 x+1，x＜0

，及函數的圖象變換可作出函數的圖象，結合圖象即可判斷

解答：解：（1）∵函數y=f（x）定義R上的奇函數
∴f（-0）=-f（0）
∴f（0）=0
（2）設x＜0，則-x＞0
∵x＞0時，f（x）=x-1
∴f（-x）=-x-1
∵函數y=f（x）定義R上的奇函數
∴f（x）=-f（-x）=x+1
（3）∴f（x）=

x-1，x＞0 0，x=0 x+1，x＜0

，其圖象如圖所示
結合函數的圖象可知，①當m＞1或m=0時，方程有2個根
②m=1時，有3個根
③0＜m＜1時，有4個根
④m＜0時，沒有根

點評：本題主要考查了函數的奇偶性在函數的函數值及函數的解析式求解中的應用及方程的根與函數的圖象交點的相互轉化，體現了 數形結合思想的應用．