Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=（cosωx，-cosωx），ω＞0，記函數f（x）=

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數f（x）的值域．

Answer 1

（1）函數f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

2

sin(2ωx)-

1+cos(2ωx)

2

=[sin(2ωx)cos

π

6

-cos(2ωx)sin

π

6

]-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，
∵T=

π

2

，
∴T=

π

2

=

2π

2ω

，解得ω=2．
（2）由（1）可得f（x）=sin(4x-

π

6

)-

1

2

．
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosx，
又∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，當且僅當a=c時取等號．
∵x∈（0，π），
∴0＜x≤

π

3

．
∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

．
∴-

1

2

≤sin(4x-

π

6

)≤1，
∴-1≤sin(4x-

π

6

)≤

1

2

．
∴函數f（x）的值域為[-

1

2

，

1

2

]．