Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業地規劃建成一個矩形高科技工業園，已知AB⊥BC，OA∥BC，且|AB|=|BC|=4km．|AO|=2km，曲線段OC 是以點O為頂點且開口向上的一段拋物線，如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，問應如何規劃才能使矩形工業園的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1 km²）。

Answer 1

解：以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖所示， 依題意可設拋物線的方程為x2=2py（p ＞0），且過點C（2，4）， 所以22=2p× 故曲線段OC的方程為y =x2（0≤x≤2）， 設P（x，x2）（0≤x≤2）是曲線段OC上的任意一點， 則|PM|=2+x，|PN|=4-x2， 所以， 工業園的用地面積S=|PM|·|PN|=（2+x）（4- x2）=-x3-2x2+4x+8， 所以， S′=-3x2-4x+4， 令S′=0，得，x2=-2， 又因為0≤x≤2， 所以， 當時，S′＞0，S是x的增函數； 當時，S′＜0，S是x的減函數， 所以，當時，S取得最大值， 此時·|PN|= 故把工業園規劃成長為，寬為時，工業園的用地面積最大，約為9.5km2。