Question

曲線y=x²+1上過點P的切線與曲線y=-2x²-1相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析：先設P（x₀，y₀），根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=x₀處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出化簡，根據此直線與曲線y=-2x²-1相切，轉化成方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0只有一解，然后利用判別式進行求解即可．

解答：解：設P（x₀，y₀），由題意知曲線y=x²+1在P點的切線斜率為k=2x₀，
切線方程為y=2x₀x+1-x₀²，而此直線與曲線y=-2x²-1相切，
∴切線與曲線只有一個交點，即方程2x²+2x₀x+2-x₀²=0的判別式
△=4x₀²-2×4×（2-x₀²）=0．解得x₀=±

2

3

3

，y₀=

7

3

．
∴P點的坐標為（

2

3

3

，

7

3

）或（-

2

3

3

，

7

3

）．

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，以及直線與二次函數相切的條件，屬于基礎題．