Question

設函數f（x）=x³+ax²-a²x+1，g（x）=ax²-2x+1，其中a≠0
（I）若a=1，求函數f（x）在區間[-1，2]上最大值和最小值；
（II）若f（x）與g（x）在區間（a，a+2）上均為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入，求出f（x）的導函數，令導函數大于0求出函數的單調遞增區間，同時求出函數的單調遞減區間，求出函數的極值，再求出函數在區間端點的值，從中選出最值．
（II）求出f（x）的導函數，求出g（x）的對稱軸，通過對a的符號的討論，寫出函數的單調區間的端點與區間（a，a+2）的端點的關系，列出不等式，求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+1，
∴f′(x)=3(x-

1

3

)(x+1)，且x∈[-1，2]．                  
∴f（x）在區間[-1，

1

3

]上遞減，[

1

3

，2]上遞增，
∴f（x）在區間[-1，2]上的最大值為f（-1）=2與f（2）=11的最大者比較，
即f（x）在區間[-1，2]上的最大值為f（2）=11，最小值為f(

1

3

)=

22

27

． 
（Ⅱ）∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-

a

3

)(x+a)．    
當a＞0時，f（x）在（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)上是增函數，g（x）在(

1

a

，+∞)上是增函數．
由題意得

a＞0 a≥ a 3 a≥ 1 a

解得a≥1．                        
當a＜0時，f（x）在(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）上是增函數，g（x）在(-∞，

1

a

)上是增函數．
由題意得

a＜0 a+2≤ a 3 a+2≤ 1 a

解得a≤-3．
綜上，a的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評：求函數在閉區間上的最值，一般利用導數求出函數的極值再求出函數在區間的兩個端點的函數值，從中選出最值；求函數的單調區間，常利用導函數的符號與函數單調性的關系．