Question

設首項為1的正項數列{a_n}的前n項和為S_n，數列的前n項和為T_n，且，其中p為常數．
（1）求p的值；
（2）求證：數列{a_n}為等比數列；
（3）證明：“數列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，其中x、y均為整數”的充要條件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

（1）解：n=1時，由得p=0或2，
若p=0時，，
當n=2時，，解得a₂=0或，
而a_n＞0，所以p=0不符合題意，故p=2；
（2）證明：當p=2時，①，則②，
②-①并化簡得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，則3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得（n∈N^*），
又因為，所以數列{a_n}是等比數列，且；
（3）證明：充分性：若x=1，y=2，由知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次為，，，
滿足，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差數列；
必要性：假設a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，其中x、y均為整數，又，
所以，化簡得2^x-2^y-2=1
顯然x＞y-2，設k=x-（y-2），
因為x、y均為整數，所以當k≥2時，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故當k=1，且當x=1，且y-2=0時上式成立，即證．
分析：（1）n=1時，由求得p的值，再排除p=0的情形即可得到結論；
（2）當p=2時，，再寫一式，兩式相減可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是等比數列；
（3）分充分性與必要性分別證明，必須搞清證明中的條件與結論．
點評：本題主要考查等差、等比數列的定義與通項公式、求和公式等基礎知識，考查靈活運用基本量進行探索求解、推理分析能力．