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如圖，已知橢圓C：6x2 + 10y2 = 15m2（m > 0），經過橢圓C的右焦點F且斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點.

 （Ⅰ）是否存在k，使對任意m > 0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

 （Ⅱ）若，求實數k的取值范圍.

（Ⅰ）橢圓C：

直線AB：y＝k（x－m）,                                                                          ，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0 

設A（x1,y1）、B（x2,y2）,則x1＋x2＝，x1x2＝ 

則xm＝         

若存在k,使為ON的中點，∴

∴，

即N點坐標為．  

由N點在橢圓上，則 

即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－（舍）．

故存在k＝±1使    

   （Ⅱ）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）

＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2

＝（1＋k2）? 

由得

即k2－15≤－20k2－12,k2≤且k≠0

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓C過點M（2，1），兩個焦點分別為(-
6
，0)、(
6
，0)，O為坐標原點，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點A、B，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段AB為直徑且過點M的圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）過點P（
2
，
6
），上、下焦點分別為F1、F2，向量
PF1
⊥
PF2
．直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB中點為m（
1
2
，-
3
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區域（含邊界）為D，若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與區域D有公共點，試求m的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)及兩條直線l1：x=-
a
2
 
c
，l2：x=
a
2
 
c
，其中c=
a
2
 
-
b
2
 
，且l1，l2分別交x軸于C、D兩點．從l1上一點A發出一條光線經過橢圓的左焦點F被石軸反射后與l2交于點B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，則橢圓的離心率等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1的上頂點為A，直線y=-4交橢圓E于點B，C（點B在點C的左側），點P在橢圓E上．
（1）若點P的坐標為（6，4），求四邊形ABCP的面積；
（2）若四邊形ABCP為梯形，求點P的坐標；
（3）若
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n為實數），求m+n的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右準線分別為l1、l2，且分 別交x軸于C、D兩點，從l1上一點A發出一條光線經過橢圓的左焦點F被x軸反射后與l2交于點B，若AF⊥BF且∠CAB=105°，則橢圓的離心率等于（　　）
A、
6
-
2
2
B、
3
-1
C、
6
-
2
4
D、
3
-1
2

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