Question

【題目】如圖，點A與點A′在x軸上，且關于y軸對稱，過點A′垂直于x軸的直線與拋物線y2=2x交于兩點B，C，點D為線段AB 上的動點，點E在線段AC上，滿足 ．

（1）求證：直線DE與此拋物線有且只有一個公共點；
（2）設直線DE與此拋物線的公共點F，記△BCF與△ADE的面積分別為S1、S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設A（﹣2a2，0），A′（2a2，0），則B（2a2，2a），C（2a2，﹣2a），

設D（x1，y1）， =λ ， =λ ，

∴（x1+2a2，y1）=λ（4a2，2a），故D的坐標（（4λ﹣2）a2，2λa），

設E（x2，y2），由 =λ ，則（x2﹣2a2，y2+2a）=λ（﹣4a2，2a），

∴E（（2﹣4λ）a2，（2λ﹣2）a），

∴直線DE的斜率為kDE= = ，

直線DE的方程：y﹣2λa= [x﹣（2﹣4λ）a2]，

整理得：（4λ﹣2）ay﹣2λa（4λ﹣2）a=x﹣（4λ﹣2）a2，即x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，①

代入拋物線方程，y2=2[2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2]，

整理得：y2﹣4a（2λ﹣1）y+4a2（2λ﹣1）2=0，②

此時方程②的兩個根相等，y=2a（2λ﹣1），

代入①，整理得x=2a2（2λ﹣1）2，

∴直線DE與此拋物線有且僅有一個公共點F（2a2（2λ﹣1）2，2a（2λ﹣1））；

（2）解：由S1= ×丨BC丨×h= ×4a×（2a2﹣xF）=4a3（4λ﹣4λ2），

設直線DE與x軸交于點G，令y=0，代入方程①，x=2a（2λ﹣1）y﹣2a2（2λ﹣1）2，解得：x=2a2（2λ﹣1）2，

故丨AG丨=2a2﹣2a2（2λ﹣1）2=2a2（4λ﹣4λ2），

S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=a2（4λ﹣4λ2）丨2λa﹣（2λ﹣2）a丨=2a3（4λ﹣4λ2），

∴ =2，

∴ 的值2．

【解析】（1）設A及B，C點坐標，根據相似關系，設 =λ ， =λ ，根據向量的坐標運算，求得D及E點坐標，求得直線DE的方程，將直線方程代入拋物線方程，有且僅有一個解，則直線DE與此拋物線有且只有一個公共點；（2）根據三角形的面積公式，求得S1，令y=0，求得G點坐標及丨AG丨，則S2=S△ADG+S△AEG= ×丨AG丨×丨yD﹣yE丨=2a3（4λ﹣4λ2），即可求得 的值．