Question

已知函數f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x），（a＞0且a≠1）
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）解不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析：（1）函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域，須使函數f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）的解析式都有意義，結合對數函數的性質，構造不等式組，解得函數的定義域．
（2）分0＜a＜1和a＞1兩種情況，結合對數函數的單調性及（I）中函數的定義域將不等式轉化為整式不等式并解答，最后綜合分類討論結果，可得答案．

解答：解：（1）要使函數h（x）=f（x）-g（x）的解析式有意義
則

x-1＞0 3-x＞0

解得1＜x＜3
∴函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域為（1，3）
（2）當0＜a＜1時，函數y=log_ax為減函數
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化為x-1≤3-x，解得x≤2，
結合（1）中函數定義域可得1＜x≤2
此時不等式的解集為（1，2]
當a＞1時，函數y=log_ax為增函數
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化為x-1≥3-x，解得x≥2，
結合（1）中函數定義域可得2≤x3
此時不等式的解集為[2，3）

點評：本題考查的知識點是函數的定義域及求法，對數函數的單調性，其中熟練掌握對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．