Question

已知冪函數，且在上單調遞增.
（Ⅰ）求實數的值，并寫出相應的函數的解析式；
（II）若在區間上不單調，求實數的取值范圍；
（III）試判斷是否存在正數，使函數在區間上的值域為. 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

解:（Ⅰ）由題意知 解得        
又  ∴或，分別代入原函數得.
（II）由已知得.                    
要使函數不單調，則，則.
（III）由已知，
法一：假設存在這樣的正數符合題意，則函數的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸為
因而，函數在上的最小值只能在或處取得
又，從而必有
解得
此時，，其對稱軸
∴在上的最大值為符合題意．
法二： 由(1)知，假設存在這樣的正數，符合題意，則函數
的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸為 ，  
（1）當，且，即時，在上單調遞減，
 ，則與矛盾，故不可能；               
（2）當，且，即時，有
得或（舍去）.
所以 ，此時，，符合題意
綜上所述，存在正數，使函數在區間上的值域為

解析