Question

已知函數（a＞0且a≠1），設函數．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）求g（x）+g（1-x）及的值；
（3）是否存在正整數a，使不等式對一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整數a的最小值；不存在，說明理由；
（4）結合本題加以推廣：設F（x）是R上的奇函數，請你寫出一個函數G（x）的解析式；并根據第（2）小題的結論，猜測函數G（x）滿足的一般性結論．

Answer 1

解：（1）任取x∈R，于是，所以f（x）是奇函數． …
（2）由（1）知f（0）=0，所以，…
．…．
（3）假設存在正整數a，使對一切n∈N^*都成立．
由，，得．…
當a=1和a=2時，不等式aⁿ＞n²顯然不成立．…
猜想當a≥3時，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…
下面證明3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立：
①當n=1時，顯然3＞1．
②當n≥2時，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．
則3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數a=3．…
證法二：
①當n=1時，3＞1，當n=2時，9＞4，不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時，3^k＞k²，
則當n=k+1時，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…
則3ⁿ＞n²對一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整數a=3．…
（4）如設F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…
則函數G（x）滿足的一般性結論為G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…
形如設G（x）=F（x-a）+b．G（x）滿足的性質為：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或則等…
分析：（1）本小題中的由奇函數的定義可知，只須驗證f（-x）=-f（x），由此即可得到正確答案；
（2）由（1）知f（0）=0，所以以及g（x）+g（1-x）=2，從而求得的值；
（3）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在正整數a，使對一切n∈N^*都成立，再利用二項式定理（解法一）或者數學歸納法（解法二）進行證明，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（4）如設F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可，則函數G（x）滿足的一般性結論為G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b等．
點評：本題考查函數奇偶性的性質、指數函數綜合題、二項式定理或者數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查歸與轉化思想．屬于基礎題．