Question

（本小題滿分14分）

設函數，其中a＞0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1

（Ⅰ）確定b、c的值

（Ⅱ）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，

（Ⅲ）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。

Answer 1

本小題主要考查函數的單調性、極值、導數等基本知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力。（滿分14分）

解：（Ⅰ）由f（x）=得：f（0）=c，f’（x）=，f’（0）=b。

又由曲線y=f（x）在點p（0，f（0））處的切線方程為y=1，得到f（0）=1，f’（0）=0。

故b=0，c=1。

（Ⅱ）f（x）=，f’（x）=。由于點（t，f（t））處的切線方程為

y-f（t）=f’（t）（x-t），而點（0,2）在切線上，所以2-f（t）= f’（t）（-t），化簡得

，即t滿足的方程為。

下面用反證法證明。

假設f’（）=，由于曲線y=f（x）在點及處的切線都過點（0,2），則下列等式成立。