Question

已知函數f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時，存在極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若x＞1時，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，求正實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時存在極值，可求實數a的值；
（Ⅱ）當x＞1時，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，則（mx-m+1）lnx-x+1＞0，構造函數g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，求出導函數g′（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，令h（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，求出導函數h′（x）=

m

x

-

1-m

x2

，換元t=

1

x

，分類討論，即可確定結論．

解答：解：（Ⅰ）求導函數可得f′（x）=1-

1+a

x

，
∵函數f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時存在極值
∴f′（1）=0，∴a=0；
（Ⅱ）當x＞1時，mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立，則（mx-m+1）lnx-x+1＞0
令g（x）=（mx-m+1）lnx-x+1，則g′（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1
令h（x）=mlnx+m+

1-m

x

-1，則h′（x）=

m

x

-

1-m

x2

令t=

1

x

，則h′（x）=（m-1）t²+mt，0＜t＜1
令φ（t）=（m-1）t²+mt，0＜t＜1，則
①當m≥1時，φ（t）＞0即h′（x）＞0，∴g′（x）＞g′（1）=0
∴g（x）＞g（1）=0
∴mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立
②當

1

2

≤m＜1時，

m

1-m

≥1，φ（t）＞0，同①知mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立；
③當0＜m＜

1

2

時，0＜

m

1-m

＜1，有t∈(

m

1-m

，1)，使φ（t）＜0，即x∈(1，

m

1-m

)時，h′（x）＜0
∴g′（x）＜g′（1）=0
∴g（x）＜g（1）=0與（mx-m+1）lnx-x+1＞0矛盾
∴當0＜m＜

1

2

時，不能使mlnx＞

f(x)-1

x-1

成立；
∴正實數m的取值范圍是{m|m≥

1

2

}．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，正確求導是關鍵．