Question

（本題滿分12分）

如下圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點A、B 及CD的中點P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD 的區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP ，設排污管道的總長度為km．

（1）按下列要求寫出函數關系式：         

①設∠BAO=(rad)，將表示成的函數；

②設OP(km) ，將表示成的函數．

（2）請選用（1）中的一個函數關系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道總長度最短．

 

Answer 1

【答案】

（1）①，

②（2）

【解析】（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故，又OP＝，

所以，

所求函數關系式為       ………3分

②若OP=(km) ，則OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函數關系式為       ………6分

（2）選擇函數模型①，

 ………8分

令0 得sin ，因為，所以=，

當時， ，是的減函數；當時， ，是的增函數，所以函數在=時取得極小值，這個極小值就是最小值． ．

這時(km)                         ………11分

因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B的距離均為(km)時，鋪設的排污管道總長度最短．                                           ………12分