Question

【題目】如圖，設橢圓C1： + =1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，且橢圓C1的離心率是 ．
（1）求橢圓C1的標準方程；
（2）過F作直線l交拋物線C2于A，B兩點，過F且與直線l垂直的直線交橢圓C1于另一點C，求△ABC面積的最小值，以及取到最小值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C1： + =1（a＞b＞0），長軸的右端點與拋物線C2：y2=8x的焦點F重合，∴a=2，

又∵橢圓C1的離心率是 ．∴c= ，b=1，∴橢圓C1的標準方程： ．

（2）解：過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x1，y1），B（x2，y2）

聯立 得y2﹣8my﹣16=0．

y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|= =8（1+m2）．

過F且與直線l垂直的直線設為：y=﹣m（x﹣2）

聯立 得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，

xC+2= ，xC= ．

∴|CF|= ．

△ABC面積s= |AB||CF|= ．

令 ，則s=f（t）= ，f′（t）= ，

令f′（t）=0，則t2= ，即1+m2= 時，△ABC面積最小．

即當m=± 時，△ABC面積的最小值為9，此時直線l的方程為：x=± y+2．

【解析】（1）由已知可得a，又由橢圓C1的離心率得c，b=1即可．（2）過點F（2，0）的直線l的方程設為：x=my+2，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）聯立 得y2﹣8my﹣16=0．|AB|= ，同理得|CF|= ．△ABC面積s= |AB||CF|= ．令 ，則s=f（t）= ，利用導數求最值即可．