Question

【題目】如圖1,在直角梯形中，，，，將沿折起,使平面平面，得到幾何體，如圖2所示，

（1）求證：平面；

（2）求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由題中數量關系和勾股定理，得出AC⊥BC，再證BC垂直與平面ACD中的一條直線即可，△ADC是等腰Rt△，底邊上的中線OD垂直底邊，由面面垂直的性質得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，從而證得BC⊥平面ACD；

（2）由高和底面積，求得三棱錐B﹣ACD的體積即是幾何體D﹣ABC的體積．

（1）在圖1中，△ADC是等腰Rt△，且，可得，

在中由余弦定理可得

從而，故，

取中點連結，則，又面面，

面面，且面，從而平面，

∴，又，，∴平面.

(2) 由（1）可知為三棱錐的高，，得，

所以，

由等體積性可知幾何體的體積為.