Question

函數f（x）=1g

x2+1

|x|

（x≠0，x∈R），有下列命題：
①f（x）的圖象關于y軸對稱；  
②f（x）的最小值是2；
③f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數；   
④f（x）沒有最大值．
其中正確命題的序號是

①④

．（請填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），函數f（x）是偶函數；
②利用基本不等式，可得

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，從而f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2；
③考查函數g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

的單調性，即可得到結論；
④由③知，f（x）沒有最大值．

解答：解：①f（-x）=1g

x2+1

|x|

=f（x），∴函數f（x）是偶函數，f（x）的圖象關于y軸對稱，故①正確；
②

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

≥2，∴f（x）=1g

x2+1

|x|

≥lg2，∴f（x）的最小值是lg2，故②不正確；
③函數g（x）=

x2+1

|x|

=|x|+

1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是減函數，在（-1，0），（1，+∞）上是增函數，故函數f（x）=1g

x2+1

|x|

在（-∞，-1），（0，1）上是減函數，在（-1，0），（1，+∞）上是增函數，故③不正確；
④由③知，f（x）沒有最大值，故④正確
故答案為：①④

點評：本題考查命題的真假判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．