Question

如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,
為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.

(Ⅰ) 證明:平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)

(Ⅰ) 在圖1中,易得
連結,在中,由余弦定理可得

由翻折不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.

(Ⅱ) 傳統法:過作交的延長線于,連結,
因為平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結合圖1可知,為中點,故,從而
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,

則,,
所以,
設為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(Ⅰ) 知,為平面的一個法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
解決折疊問題，需注意一下兩點：1.一定要關注“變量”和“不變量”在證明和計算中的應用:折疊時位于棱同側的位置關系和數量關系不變;位于棱兩側的位置關系與數量關系變；2.折前折后的圖形結合起來使用.如本題第一問，關鍵是由翻折不變性可知,借助勾股定理進行證明垂直關系；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個半平面的垂線，然后過垂足作二面角棱的垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來求：要求出二個面的法向量，然后轉化為,要注意兩個法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據余弦值確定相等或互補即可。
【考點定位】考查折疊問題和二面角的求解，考查空間想象能力和計算能力.