Question

已知定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，使得成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.

下面我們來考慮兩個函數：，.

（Ⅰ）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（Ⅱ）若，函數在上的上界是，求的取值范圍；

（Ⅲ）若函數在上是以為上界的有界函數， 求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）函數在上的值域為，函數在不是有界函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，函數，此時可設，由，那么，所以函數可轉化成，易知在上單調遞增，從而可求出值域為；故不存在常數，使成立,所以函數在上不是有界函數

（Ⅱ）先求出在上的最大值與最小值，根據，再確定的大小關系，得出上界范圍；（Ⅲ）函數在上是以為上界的有界函數，則在上恒成立.將問題轉化成而求得.

試題解析：（Ⅰ）當時，

因為在上遞減，所以，即在的值域為.

故不存在常數，使成立,所以函數在上不是有界函數.

（Ⅱ），∵， ∴在上遞減，

∴ 即

∵，∴，∴，

∴ ，即

（Ⅲ）由題意知，在上恒成立.

，∴ 在上恒成立

∴

設，，， 由得，

設，, 所以在上遞減，在上的最大值為，

又，所以在上遞增，

在上的最小值為.

所以實數的取值范圍為.

考點：信息檢索，函數綜合應用.